Werden alle Qubits in einem Register gemessen ist, wie schon in Thema 3 beschrieben, die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebniss durch $|\alpha_i|^2$ gegeben.
Gegeben sei der Zustand $\ket{\varphi\psi}$, jetzt soll das zweite Qubit ($\ket{\psi}$) gemessen werden. $$ \ket{\varphi\psi} = \alpha_0\ket{00} + \alpha_1\ket{01} + \alpha_2\ket{10} + \alpha_3\ket{11} $$
Die Wahrscheinlichkeit $p_0$ für das Ergebnis 0 ist durch die folgende Summe gegeben: $$ p_0 = |\alpha_0|^2 + |\alpha_2|^2 $$
Also die Betragsquadrate all der Koefizienten, bei denen das Qubit 0 ist. Der entsprechende Zustand nach der Messung ist dann: $$ \ket{\varphi{}0} = \frac{\alpha_0\ket{00} + \alpha_2\ket{10}}{\sqrt{p_0}} $$
Der Grund für den Faktor von $\frac{1}{\sqrt{p_0}}$ ist hier, dass nach der Messung die $\sum |\alpha_i|^2$ immernoch gleich 1 sein muss (um immernoch als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden zu können). Der Faktor dient also der Normierung.
Projektoren
Etwas einfacher wird die Messung mithilfe von Projektoren. Dazu wird zunächst das “outer product” (Kreuzprodukt) wie folgt definiert: $$ M = \ket{i}\bra{i} $$ Wobei $i$ angibt auf welchen Basiszustand projeziert werden soll.
Beispiel:
Soll der Basiszustand $\ket{01}$ gemessen werden, ergibt sich der Projektor $$ M_{01} = \ket{01}\bra{01} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 1 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Projektoren können addiert werden. Der Projektor $M_{(01)\lor(11)}$, der also beide Fälle für Qubit 1 und nur den $\ket{1}$ Fall für Qubit 2 verwendet, lässt sich wie folgt aufbauen: $$ M_{(01)\lor(11)} = \ket{01}\bra{01} + \ket{11}\bra{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 1 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 1 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 0\newline 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Diese Matrix lässt sich noch etwas einfacher beschreiben: $$ M_{(01)\lor(11)}=\mathop{Id}_{2}\otimes\ket{1}\bra{1} $$ Wobei $\mathop{Id}_2$ die Identitätsmatrix der Größe $2\times2$ ist. $$ \mathop{Id}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \newline 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Was in dieser Darstellung der Matrix deutlich wird ist, dass alle Qubits die “ignoriert” werden sollen mit der Identitätsmatrix und alle Qubits für die ein bestimmtes Ergebnis betrachtet werden soll, der entsprechende Basisvektor mit seinem Bra-Vektor multipliziert wird.
Mit dem so beschriebenen Projektor lässt sich dann die Wahrscheinlichkeit für diese Ergebnisse wie folgt berechnen: $$ p_M = \bra{\phi} M^\dagger M\ket{\phi} $$
Hinweis:
$\ket{\phi}$ soll hier ein System mit zwei Qubits beschreiben.
Hinweis:
$M^\dagger$ (gesprochen M Dagger) ist die transponierte komplex konjugierte der Matrix.
Beispiel:
$$ \begin{pmatrix} a & b\newline c & d \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} a^\ast & c^\ast\newline b^\ast & d^\ast \end{pmatrix} $$ Es werden also die Zeilen und Spalten vertauscht, und alle Einträge komplex konjugiert.
Der Zustand nach der Messung: $$ \ket{\phi’} = \frac{M \ket{\phi}}{\sqrt{p_M}} $$ sofern $P_M > 0$, die Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand echt größer $0$ ist.
Quantum Cube Model
Im Folgenden ist dargestellt wie Qubits 1 und 3 (x- und z-Achse) gemessen werden. Zur Übersichtlichkeit ist danach der reduzierte Zustand des verbleibenden Qubits dargestellt, je nachdem welches der vier möglichen Messergebnisse $\{00, 01, 10, 11\}$ betrachtet wird.
