Betrachten Sie die beiden Qubits $\ket{\varphi}$ und $\ket{\psi}$:
$$ \ket{\varphi} = \alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1} $$ $$ \ket{\psi} = \beta_0\ket{0} + \beta_1\ket{1} $$
Diese können als Register angesehen werden, indem der Zustand des Systems als eins betrachtet wird. $\ket{\varphi}\ket{\psi}$ beschreibt dabei den Systemzustand der beiden Qubits (Reihenfolge beachten). Die Koefizienten müssen dann entsprechend ausmultipliziert werden.
$$ \ket{\varphi}\ket{\psi} = (\alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1}) \cdot (\beta_0\ket{0} + \beta_1\ket{1})\newline = \alpha_0\beta_0\ket{0}\ket{0} + \alpha_0\beta_1\ket{0}\ket{1} + \alpha_1\beta_0\ket{1}\ket{0} + \alpha_1\beta_1 \ket{1} \ket{1} $$
Übung: Erinnern Sie sich an Ihr Qubit aus den vorrangegangenen Themenblöcken, tauschen Sie sich in zweier Gruppen aus, und berechnen Sie Ihren gemeinsamen Systemzustand.
Tensor Produkt
Die Operation wird Tensor (oder Kronecker Produkt) genannt. Wie Sie im weiteren Verlauf noch sehen werden, taucht das Tensor Produkt noch öffter auf.
$$ \ket{\varphi}\ket{\psi} \dot{=} \begin{pmatrix} \alpha_0\begin{pmatrix}\beta_0 \newline \beta_1\end{pmatrix} \newline \alpha_1\begin{pmatrix}\beta_0 \newline \beta_1\end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_0\beta_0 \newline \alpha_0\beta_1 \newline \alpha_1\beta_0 \newline \alpha_1\beta_1 \end{pmatrix} \dot{=} \ket{\varphi\psi} $$
Das Tensor Produkt wird oft mit dem Symbol $\otimes$ beschrieben. Für allgemeine Matrizen (und Vektoren zählen hier als $n\times 1$ oder $1 \times n$ Matrizen) gilt folgendes: $$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots{} & a_{1,n} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} a_{m,1}& \cdots{} & a_{m,n} \end{pmatrix} \otimes{} \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots{} & b_{1,s} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} b_{t,1}& \cdots{} & b_{t,s} \end{pmatrix} $$
$$= \begin{pmatrix} a_{1,1} \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots{} & b_{1,s} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} b_{t,1}& \cdots{} & b_{t,s} \end{pmatrix} & \cdots & a_{1,n} \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots{} & b_{1,s} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} b_{t,1}& \cdots{} & b_{t,s} \end{pmatrix}\newline \vdots & & \vdots\newline a_{m,1}\begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots{} & b_{1,s} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} b_{t,1}& \cdots{} & b_{t,s} \end{pmatrix} & \cdots & a_{m,n}\begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots{} & b_{1,s} \newline{} \vdots{} & & \vdots{} \newline{} b_{t,1}& \cdots{} & b_{t,s} \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
$$= \begin{pmatrix} a_{1,1}b_{1,1} & \cdots & a_{1,1}b_{1,s} & & a_{1,n}b_{1,1} & \cdots & a_{1,n} b_{1,s}\newline \vdots & & \vdots & \cdots &\vdots & & \vdots\newline a_{1,1}b_{t,1} & \cdots & a_{1,1}b_{t,s} & & a_{1,n}b_{t,1} & \cdots & a_{1,n} b_{t,s}\newline &\vdots & & & & \vdots &\newline a_{m,1}b_{1,1} & \cdots & a_{m,1}b_{1,s} & & a_{m,n}b_{1,1} & \cdots & a_{m,n} b_{1,s}\newline \vdots & & \vdots & \cdots &\vdots & & \vdots\newline a_{m,1}b_{t,1} & \cdots & a_{m,1}b_{t,s} & & a_{m,n}b_{t,1} & \cdots & a_{m,n} b_{t,s} \end{pmatrix} $$
Zu beachten ist, dass das Tensorprodukt nicht kommutativ ist. Also $A\otimes{}B \neq B\otimes{}A$
Hinweis:
Anders als bei der üblichen Matrix Multiplikation gibt es beim Tensorprodukt keine Anforderungen an die Ränge der Matrizen. Die resultierende Matrix hat immer die Größe $(n\cdot{}s)\times(m\cdot{}t)$
Übung: Denken Sie sich zwei Matrizen $A$ und $B$ unterschiedlicher Größe (am besten zwischen 2 und 4 Zeilen und Spalten) aus, und berechnen Sie $A \otimes B$ und $B \otimes A$.
Quantum Cube Model
Im Quantum Cube Model werden verschiedene Qubits an verschiedenen Achsen dargestellt. Für zwei Qubits ergibt die Darstellung folgendes:
Bei Systemen mit drei Qubits wird deutlich warum das Modell Quantum Cube Model genannt wird:
