Klassische Gatter
Aus der klassichen Informatik kennen Sie bereits die logischen Gatter:
- Not
- Or
- And
- …
Mit diesen Gattern lassen sich klassiche Bits “manipulieren” bzw. zusammenschalten.
Pauli-X Gatter
Während klassische Gatter auf klassichen Bits opererieren, arbeiten Quanten Gatter auf Qubits. Wenn im folgenden von Gattern gesprochen wird, sind meist Quanten Gatter gemeint. Auch hier gibt es eine ganze Reihe verschiedener Gatter.
Zunächst betrachten wir die Auswirkungen des Pauli-X Gatters auf die Basiszustände. Das üblicherweise wie folgt dargestellt wird:
Wie Sie sehen können, verhält sich das Pauli-X Gatter auf Basiszuständen so, wie das Not Gatter bei klassischen Bits. Gatter werden über ihre Matrix definiert, diese Matrix ist immer quadratisch (und unitär). Die Matrix des Pauli-X Gatters wird üblicherweise mit $X$ beschrieben.
$$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \newline 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Betrachtet man den allgemeinen Zustand $\ket{\varphi}$ $$ \ket{\varphi} = \alpha_0 \ket{0} + \alpha_1 \ket{1} \dot{=} \begin{pmatrix} \alpha_0 \newline \alpha_1\end{pmatrix} $$
So ist der Zustand $\ket{\varphi’}$ (nach dem Pauli-X Gatter) beschrieben durch: $$ X\ket{\varphi} \dot{=} \begin{pmatrix} 0 & 1 \newline 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_0 \newline \alpha_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha_1 \newline\alpha_0\end{pmatrix} \dot{=} \ket{\varphi’} $$
Für einen allgemeinen Zustand $\ket{\varphi}$ werden die Koefizienten $\alpha_0$ und $\alpha_1$ vertauscht.
Das Pauli-X Gatter wird im Quantum Cube Model wie folgt als Pfeil mit Spitzen auf beiden Seiten dargstellt:
Hadamard Gatter
Für das Hadamard Gatter (benannt nach dem Mathematiker Jacques Salomon Hadamard) gibt es kein klassisches Äquivalent.
Wie auch beim Pauil-X Gatter lässt sich dieses Gatter als Matrix beschreiben, diese wird meißt mit $H$ benannt. $$ H = \sqrt{\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \newline 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Beispiel, Auswirkungen von Hadamard auf den Zustand $\ket{0}$: $$ H\ket{0} \dot{=}~\sqrt{\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \newline 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \newline 0 \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{1}{2}} \begin{pmatrix} 1 \newline 1\end{pmatrix} \dot{=} \sqrt{\frac{1}{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
Dieser Zustand wird oft auch als $\ket{+}$ bezeichnet. $$ \ket{+} := \sqrt{\frac{1}{2}}(\ket{0} + \ket{1}) = \sqrt{\frac{1}{2}}\ket{0} + \sqrt{\frac{1}{2}}\ket{1} $$
Das Hadamard Gatter wird als Pfeil mit zwei Kreisen als Spitzen dargestellt.
Überlegen Sie welche Auswirkungen das Hadamard Gatter auf den Zustand $\ket{1}$ hat.
Dieser Zustand wird $\ket{-}$ genannt.