Der Zustand eines Qubits ist, wie in Thema 2 bereits erwähnt, beschrieben durch: $$ \ket{\varphi} = \alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1} $$ wobei für $\alpha_0$ und $\alpha_1$ folgendes gilt:

  1. $\alpha_0, \alpha_1 \in \mathbb{C}$
  2. $|\alpha_0|^2 + |\alpha_1|^2 = 1$.

Der Grund für die zweite Bedingung wird im Folgenden erläutert.

Wird ein Qubit gemessen, so hängt das Ergebnis (natürlich) von dem Zustand ab, in dem sich das Qubit befindet. Sei $\ket{\varphi}$ im folgenden Zustand: $$ \ket{\varphi} = 1\cdot\ket{0} + 0\cdot\ket{1} = \ket{0} $$

So ist das Ergebnis einer Messung immer 0. Ähnlich sieht es aus, wenn der Koeffizient $\alpha_1 = 1$ (und $\alpha_0 = 0$) ist. Dann ist das Ergebnis immer 1.

Spannender ist es im allgemeinen Zustand: $$ \ket{\varphi} = \alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1} $$

Hier gibt es für das Ergebnis zwei verschiedene Möglichkeiten:

  1. Mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_0|^2$ erhält man das Ergebnis 0 und das Qubit befindet sich danach im Zustand $\ket{\varphi^’} = \ket{0}$.
  2. Mit Wahrscheinlichkeit $|\alpha_1|^2$ erhält man das Ergebnis 1 und das Qubit befindet sich danach im Zustand $\ket{\varphi^’} = \ket{1}$.

Beispiel:

$$ \ket{\varphi} = \sqrt{\frac{1}{4}} \ket{0} + \sqrt{\frac{3}{4}} \ket{1} $$

Mögliche Ergebnisse:

  1. Es wird 0 gemessen mit Wahrscheinlichkeit $p_0 = \frac{1}{4}$, Zustand nach Messung: $\ket{\varphi^’} = \ket{0}$
  2. Es wird 1 gemessen mit Wahrscheinlichkeit $p_1 = \frac{3}{4}$, Zustand nach Messung: $\ket{\varphi^’} = \ket{1}$

Quantum Cube Model

./quantumcubemodel.tex

Die Länge des Pfeils (bei $\ket{0}$) ist genau $\sqrt{\frac{3}{4}}$, also dem Koeffizienten. Das bunte Quadrat über dem Pfeil entspricht dabei $|\alpha_0|^2$, also der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnis zu messen.

Hinweis: Bei einer komplexen Phase wird das Quadrat entsprechend gedreht.

Das graue Quadrat hat immer die Kantenlänge 1. Ist es komplett gefüllt, so muss das andere Quadrat entsprechend leer sein. Die Summe der Flächeninhalte eingefärbten Quadrate ist immer 1.

Auch die Messung lässt sich in diesem Modell darstellen. ./messung.tex

Übung: Ich bin ein Qubit II

Erinnern Sie sich an das Qubit aus der letzten Übung. Überlegen Sie mit welchen Wahrscheinlichkeiten welche Ergebnisse gemessen werden.