Klassisches Bit:

Ein klassisches Bit ist ein (mathematisches) Objekt, dass genau einen von zwei möglichen Zuständen (0 oder 1) annehmen kann. Physikalisch können klassische Bits unterschiedlich realisiert werden:

• Lampe an/aus
• Stom an/aus
• Magnete: Nordpol oben/unten
• …

Klassische Bits unterliegen zwei Eigenschaften, die so selbstverständlich sind, dass diese selten überhaupt erwähnt werden. Der Ursprung dieser Eigenschaften liegt in der klassischen Mechanik.

Realismus: Der Wert eines klassischen Bits ist zu jedem Zeitpunkt determiniert, kann ausgelesen werden und das Auslesen ändert den Zustand des Bits nicht.

Lokalität: Änderungen an einem klassischen Bit verändern den Zustand eines anderen Bits nicht instantan (Ausbreitung von Änderungen mit höchstens Lichtgeschwindigkeit).

Quanten Bits (Qubits):

Ein Qubit ist im Rahmen dieses Kurses ebenfalls ein mathematisches Objekt, welches verschiedene Zustände annehmen kann. Ein Qubit hat die Form: $$\ket{\varphi} = \alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1}$$ Wobei $\alpha_0$ und $\alpha_1$ folgendes gilt:

1. $\alpha_0, \alpha_1 \in \mathbb{C}$
2. $|\alpha_0|^2 + |\alpha_1|^2 = 1$

Für den Anfang des Kurses können Sie annehmen, dass die Koeffizienten $\alpha_i$ reelle Zahlen sind. Behalten Sie aber im Hinterkopf, dass es eigentlich komplexe Zahlen sind.

Realismus: Wie wir in Thema 3 noch sehen werden, ist für Qubits nicht (immer) determiniert, welchen Wert eine Messung liefern wird. Außerdem ändert eine Messung (meist) den Zustand eines Qubits.

Für Sie sind die Wörter Zustand und Wert noch synonym, da es keinen Grund gibt in der klassischen Informatik hier eine Unterscheidung vorzunehmen. Im Quanten Computing differenziere ich hier aber bewusst. Den Unterschied werden Sie in den kommenden Lektionen kennen lernen.

Lokalität: Ebenso wie die Realismus-Eigenschaft, gibt es auch bei der Lokalität einen Unterschied zu klassischen Bits. Unter gewissen Voraussetzungen (welche das sind lernen Sie später) können Operationen direkt Auswirkungen auf (alle) anderen Qubits in einem System haben.

Hinweis: Damit kann aber keine klassische Information ausgetauscht werden. (Was das bedeutet lernen Sie später.)

Thema 2b: Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl $z$ ist ein Ausdruck aus zwei Termen: $$ z = a+bi$$ wobei gilt $i^2 = \sqrt{-1}$ und $a,b \in \mathbb{R}$.

Der Realteil $\mathop{Re}(z) = a$ und der Imaginärteil $\mathop{Im}(z) = b$

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit $\mathbb{C}$ beschrieben.

Komplexe Zahlen ermöglichen es die Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, da $i = \sqrt{-1}$ immer ein Faktor ist.

Beispiel: $$\sqrt{-81} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{-1} = 9i$$

Addition und Subtraktion mit komplexen Zahlen:

$$z_1 = a + bi \newline z_2 = c + di$$

$$ z_1 + z_2 = a+c + (b + d)i\newline z_1 - z_2 = a-c + (b-d)i$$

Multiplikation mit komplexen Zahlen am Beispiel:

$$ (2 + i) \cdot (3 - i) = 2(3) - 2i + 3i - i^2\newline = 6 + i - (-1) \newline = 7 + i $$

Komplexe Konjugation: Sei $z$ eine komplexe Zahl, dann wird $z^*$ die komplexe Konjugation genannt und ist definiert als: $$ z = a + bi\newline z^\ast = a - bi $$

Das Produkt einer komplexen Zahl $z$ mit der komplex konjugierten Zahl $z^*$ ist immer eine reelle Zahl.

Division mit komplexen Zahlen:

Für die Division mit komplexen Zahlen wird der Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners erweitert. $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot z_2^\ast}{z_2 \cdot z_2^\ast} $$

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot(c-di)} = \frac{ac + bd + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

Komplexe Zahlen in der Ebene darstellen:

Hinweis: $|z|$ beschreibt den Betrag von $z$.

Es ist nützlich zu wissen, dass $|z|^2 = z z^*$.

Thema 2c: Dirac Notation

In der Quantenmechanik ist es üblich Zustände in der Dirac Notation (auch Bra-Ket-Notation) anzugeben. Wie schon in Thema 2 beschrieben befindet sich ein Qubit in einem Zustand $\ket{\varphi} = \alpha_0\ket{0} + \alpha_1\ket{1}$

Streng genommen ist $\varphi$ ein Vektor eines $2^n$-dimensionalen Vektorraums ($v \in \mathbb{C}^{2^n}$). Der Ket-Ausdruck $\ket{\varphi}$ ist koordinatenfrei, kann aber als Spaltenvektor dargestellt werden.

$$ \ket{\varphi} \dot{=} \begin{pmatrix} \varphi_1 \newline \varphi_2 \newline \vdots \newline \varphi_{2^n} \end{pmatrix} $$

Dabei gibt es noch einige Konventionen, so ist es üblich “besonderen” Zuständen eigene Symbole zu geben.

$$ \ket{0} \dot{=} \begin{pmatrix} 1 \newline 0 \end{pmatrix} $$

$$ \ket{1} \dot{=} \begin{pmatrix} 0 \newline 1 \end{pmatrix} $$

Wir werden im Laufe des Kurses noch einige weitere Zustände kennenlernen, die eigene Symbole haben.

Zu jedem Ket-Vektor $\ket{\varphi}$ gibt es einen zugehörigen komplex konjugierten und transponierten Bra-Vektor $\bra{\varphi}$

Ein Bra-Vektor entspricht dabei einem Zeilenvektor:

$$ \bra{\varphi} \dot{=} \begin{pmatrix} \varphi_1^\ast & \varphi_2^\ast & \dots & \varphi_{2^n}^\ast \end{pmatrix} $$

$\ket{0}$ und $\ket{1}$ werden die “Computational Basis” genannt. Das Qubit $\ket{\varphi}$ (aus Thema 2) ist also durch eine Linearkombination der beiden Basiszustände beschrieben.

Hinweis: In $\LaTeX$ lassen sich die Vektoren mit dem braket Package und den Befehlen \ket{\varphi} und \bra{\varphi} setzen.

Übung: Ich bin ein Qubit

Überlegen Sie sich einen Zustand $\ket{\text{Me}}$, der die beiden Anforderungen an $\alpha_0$ und $\alpha_1$ erfüllt.